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Les matrices et les tenseurs de second rang sont-ils la même chose ?

Je sais que c’est un vieux fil de discussion. Mais je pense qu’il manque encore un point, donc si les gens viennent encore à ce post pour s’y référer, laissez-moi avoir un swing.

Je veux argumenter d’un point de vue mathématique qui est quelque peu géométrique. Nous voulons prendre des vecteurs d’un certain espace vectoriel $V$. Nous ne demanderons surtout pas que $V$ soit un $\mathbb{R}^n$ pour une certaine dimension $n$, mais disons pour simplifier que $V$ est de dimension finie. Il existe deux types différents d’opérations sur cet espace vectoriel qui sont pertinents dans l’image tensorielle habituelle, l’un étant les tenseurs $\begin{pmatrix}0\2 \end{pmatrix}$ – qui sont facilement décrits sans encombrement technique – et l’autre étant les cartes linéaires décrites par les tenseurs $\begin{pmatrix}1\1 \end{pmatrix}$ – qui nécessitent un encombrement technique, nous restons donc brefs ici. Nous aurons également besoin de parler des bases. Donc, allons-y en trois étapes.

Post-scriptum prématuré : Ceci a pris une ampleur un peu démesurée. J’ai essayé d’élaborer parce que je sais que mes étudiants luttent souvent contre les réponses manuelles et brèves qui n’étirent pas les indices importants.

Une bonne source pour entrer dans la matière (et très lisible) est l’Introduction aux tenseurs et à la théorie des groupes pour les physiciens de Nadir Jeevanjee.

$\begin{pmatrix}0\2 \end{pmatrix}$ Tenseurs

  1. Sans trop de cérémonie, nous pouvons définir un $\begin{pmatrix}0\2 \end{pmatrix}$-tenseur comme étant une carte bilinéaire $T$ qui mange deux vecteurs $v$ et $w \in V$ et recrache un nombre réel $T(v,w)$. En termes un peu plus formels : $$T : V \times V \to \mathbb{R}, \qquad (v,v) \mapsto T(v,v) \in \mathbb{R}.$$Pour ceux qui sont effrayés par la notation mathématique, ne vous inquiétez pas, il s’agit simplement de la prose écrite ci-dessus. Le mot bilinéaire est particulièrement important. Il signifie que le tenseur est linéaire dans les deux arguments. Sinon, ce serait une carte plutôt aléatoire, mais la linéarité est vraiment ce qui donne aux tenseurs leurs propriétés caractéristiques.

C’est tout. C’est vraiment ce qu’est un tenseur : il prend deux vecteurs et recrache un nombre réel. Et il le fait de manière linéaire.

Cette définition est indépendante de l’espace vectoriel $V$, les tenseurs peuvent être décrits sur n’importe quel espace vectoriel. Un exemple pour l’espace vectoriel $V$ pourrait être l’espace de toutes les vitesses possibles qu’une boule de billard pourrait avoir (c’est un espace vectoriel parce que vous pouvez étirer et ajouter des vitesses, et il n’y a pas vraiment beaucoup plus pour qu’un certain ensemble soit qualifié d’espace vectoriel). Et un tenseur ? Comme mentionné ci-dessus, n’importe quelle carte multiniear fera l’affaire, mais quelque chose de significatif pour la physique pourrait être le « tenseur d’énergie cinétique »$$ T(v,w) = \frac{m}{2}v \cdot v,$$ dont la diagonale est exactement $T(v,v) = E_{\textrm{kin}}(v)$.

Maintenant, remarquez une chose : jamais dans cette définition ou dans l’exemple nous n’avons mentionné quoi que ce soit à propos de coordonnées ou de $\mathbb{R}^3$. C’est important . Le tenseur est un objet qui peut exister dans toute sa splendeur, libre et indépendant de tout système de coordonnées. Pour un théoricien (ou tout physicien), c’est un résultat réjouissant : Il n’existe aucune expérience permettant de déterminer si le système de coordonnées du monde est cartésien, polaire ou sphérique. Ce sont des créations de l’esprit humain. Une bonne théorie ne devrait pas commencer par dépendre d’un choix arbitraire, il vaut mieux que les tenseurs soient des entités bien définies avant que nous nous perdions dans les systèmes de coordonnées. Et c’est ce que nous avons fait ici.

Choisir une base

Mais là encore, nos esprits fonctionnent plutôt bien dans les systèmes de coordonnées, ou du moins ils ont été bien entraînés à le faire. Alors que se passe-t-il si on choisit une base ? Alors les vecteurs $v,w \in V$ peuvent être décomposés en une somme sur l’ensemble des vecteurs de base $\{e_i\}$ fois les facteurs d’échelle respectifs $\{v^i\}$ pour chacun d’eux. Avec la convention de somme:$$ v = v^i e_i, \qquad w = w^i e_i.$$ Nous l’introduisons dans la définition du tenseur et voyons ce qui en ressort.\begin{align} T(v,w)&= T(v^i e_i, w^j e_j)\&= v^i T(e_i, w^j e_j)\&= v^i T(e_i, e_j) w^j \&= : v^i T_{ij} w^j.\end{align}La première égalité est juste une insertion (en prenant soin des indices), la deuxième égalité est la linéarité du premier argument ($v^i$ est juste un nombre réel, il peut être retiré), la troisième égalité est la linéarité du deuxième argument, et enfin nous introduisons la définition$$T_{ij} := T(e_i,e_j).$$C’est une nouvelle quantité que nous avons définie en prenant le tenseur et en l’appliquant à toutes les paires de vecteurs de base. Si l’espace vectoriel a une dimension $n$, alors nous obtenons $n^2$ nombres réels, tandis que les composantes $v^i$ et $w^j$ forment chacune $n$ nombres réels.

Et maintenant on arrive à une manière entièrement arbitraire de stocker toutes ces informations : les matrices. Une matrice en soi n’est rien de plus qu’un tableau (elles ont même été, historiquement, appelées tableaux pendant un certain temps). De simples feuilles de calcul MS-Excel. Mais, motivés par l’équation que nous venons de dériver, les gens ont eu l’idée : hé, arrangeons les $v^i$ et $w^j$ dans ces lignes et colonnes de nombres et arrangeons les nombres $T_{ij}$ dans ce joli bloc carré de nombres. Et pour se rappeler comment les traiter, introduisons une façon de les multiplier entre eux.

Une matrice (y compris les matrices carrées en $\mathbb{R}^{n \times n}$ ainsi que les matrices lignes en $\mathbb{R}^{1\times n}$ et les matrices colonnes en $\mathbb{R}^{n \times 1}$, communément appelées vecteurs) n’est, comme mentionné dans une autre réponse, rien d’autre qu’un moyen de stocker des informations. La règle de multiplication de la matrice (« ligne fois colonne ») est une information supplémentaire par-dessus tout. C’est juste un moyen de gérer correctement l’information stockée dans la matrice et les vecteurs, qui sont des nombres réels nus.

C’est dans ce sens que nous considérons que les vecteurs se situent dans un certain $\mathbb{R}^n$ et que les tenseurs sont des matrices dans $\mathbb{R}^{n \times n}$. Les vecteurs se trouvent en fait dans un espace vectoriel de dimension $V$, et les tenseurs sont des applications bilinéaires qui prennent deux de ces vecteurs et donnent un nombre réel. Cependant, après avoir choisi une base $\{e_i\} \sous-ensemble V$, toutes les informations dont nous avons besoin pour récupérer le vecteur complet $v$ sont ses composantes $\{v^i\}$ dans cette base donnée, et tout ce dont nous avons besoin pour connaître complètement un tenseur $T$ sont ses valeurs sur les vecteurs de base $\{T_{ij}\} = \{T(e_i,e_j) \}$. Cela pousse la base sous le tapis, mais ensuite des choses bizarres se produisent quand on change de base.

Tenseurs comme cartes linéaires

Alors pourquoi la plupart des réponses ici sont centrées sur les tenseurs étant des cartes linéaires qui prennent un vecteur dans $\mathbb{R}^n$ à un autre vecteur dans $\mathbb{R}^n$ ? Parce que bien sûr, il y a une étroite similitude.

Regardons à nouveau la représentation en coordonnées de la multiplication des tenseurs. Là, nous avons écrit$$T(v,w) = v^i T_{ij}w^j.$$Ceci présente une étroite similitude avec la représentation en coordonnées du produit interne,$$v \cdot u = v^i u_i,$$il suffit de remplacer$$u_i = T_{ij}w^j = T(e_i,e_j)w^j = T(e_i,w^j e_j) = T(e_i,w)$$dans l’équation.

En ce sens, nous trouvons une nouvelle façon de comprendre le tenseur. Au lieu de simplement prendre deux vecteurs et de retourner un nombre réel, nous pouvons considérer que le tenseur prend un vecteur $w$, le transforme linéairement en un nouveau vecteur $u$, puis calcule le produit interne entre $v$ et $u$.

Une parenthèse : À ce stade, j’ai laissé de côté quelques subtilités, car pour avoir une vue d’ensemble, il faudrait parler davantage du produit interne. En effet, le produit interne définit le tenseur métrique (ou vice versa), dont nous avons encore besoin si nous voulons passer des composantes covariantes des $u_i$ aux composantes contravariantes $u^i = \eta^{ij} u_j$. Nous ne nous attarderons pas sur ce point ici. Je suppose que cela a déjà été discuté ailleurs, de toute façon.

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